فعالیت ریاضی دهم
۱) در الگوی زیر، شکل بعدی را رسم کنید و جدول را کامل نمایید.
| $\text{n}$ : شماره‌ی شکل | ۱ | ۲ | ۳ | ۴ | ۵ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $\text{t}_{\text{n}}$ : تعداد نقطه‌ها | ۵ | ۱۲ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ |
| رابطه‌ی بین $\text{t}_{\text{n}}$ و $\text{n}$ | $\text{t}_{\text{۱}} = ۵$ | $\text{t}_{\text{۲}} = \dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ |
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ صفحه ۱۷ ریاضی دهم
سلام! این الگو بر خلاف الگوی قبلی (چوب کبریت‌ها)، یک الگوی **غیرخطی** است و به دنباله‌ی **درجه دوم** مربوط می‌شود. بیایید با دقت الگو را تحلیل و جدول را کامل کنیم.
### ۱. تحلیل الگو و رسم شکل ۴
* **شکل ۱ ($\text{n}=۱$):** یک مرکز + ۴ شاخه $\times ۱$ نقطه‌ای. تعداد کل: $\mathbf{۵}$ نقطه.
* **شکل ۲ ($\text{n}=۲$):** یک مربع مرکزی $۲ \times ۲$ (۴ نقطه) + ۴ شاخه $\times ۲$ نقطه‌ای. تعداد کل: $۴ + (۴ \times ۲) = \mathbf{۱۲}$ نقطه.
* **شکل ۳ ($\text{n}=۳$):** یک مربع مرکزی $۳ \times ۳$ (۹ نقطه) + ۴ شاخه $\times ۳$ نقطه‌ای. تعداد کل: $۹ + (۴ \times ۳) = ۲۱$ نقطه.
* **شکل ۴ ($\text{n}=۴$):** باید یک مربع مرکزی $\mathbf{۴ \times ۴}$ (۱۶ نقطه) + ۴ شاخه $\times ۴$ نقطه‌ای داشته باشد. تعداد کل: $۱۶ + (۴ \times ۴) = ۱۶ + ۱۶ = \mathbf{۳۲}$ نقطه.
### ۲. تکمیل جدول
| $\text{n}$ : شماره‌ی شکل | ۱ | ۲ | ۳ | ۴ | ۵ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $\text{t}_{\text{n}}$ : تعداد نقطه‌ها | ۵ | ۱۲ | **۲۱** | **۳۲** | **۴۵** |
| رابطه‌ی بین $\text{t}_{\text{n}}$ و $\text{n}$ | $\text{t}_{\text{۱}} = ۵$ | $\mathbf{\text{t}_{\text{۲}} = ۱۲}$ | $\mathbf{\text{t}_{\text{۳}} = ۲۱}$ | $\mathbf{\text{t}_{\text{۴}} = ۳۲}$ | $\mathbf{\text{t}_{\text{۵}} = ۴۵}$ |
**محاسبه $\text{t}_{\text{۵}}$:** $(۵ \times ۵) + (۴ \times ۵) = ۲۵ + ۲۰ = ۴۵$ نقطه.
فعالیت ریاضی دهم
۲) آیا این الگو یک الگوی خطی است؟ چرا؟
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۲ صفحه ۱۷ ریاضی دهم
**پاسخ: خیر، این الگو یک الگوی خطی نیست.**
### چرا این الگو خطی نیست؟
الگوی خطی (دنباله‌ی حسابی) الگویی است که در آن، اختلاف بین هر دو جمله‌ی متوالی، یک مقدار **ثابت** باشد (قدر نسبت ثابت). بیایید اختلاف جملات این الگو را بررسی کنیم:
* **تعداد نقطه‌ها:** $\{۵, ۱۲, ۲۱, ۳۲, ۴۵, \dots\}$
* **اختلاف اول (سطح اول):**
* $\text{t}_{\text{۲}} - \text{t}_{\text{۱}} = ۱۲ - ۵ = ۷$
* $\text{t}_{\text{۳}} - \text{t}_{\text{۲}} = ۲۱ - ۱۲ = ۹$
* $\text{t}_{\text{۴}} - \text{t}_{\text{۳}} = ۳۲ - ۲۱ = ۱۱$
* **نتیجه:** چون اختلاف‌ها ثابت نیستند (۷، ۹، ۱۱، ...)، الگو **خطی** نیست. این نوع الگوها به عنوان **الگوهای غیرخطی** یا **الگوهای درجه دوم** شناخته می‌شوند، زیرا اختلاف سطح دوم آن‌ها ثابت است:
* **اختلاف دوم (سطح دوم):**
* $۹ - ۷ = ۲$
* $۱۱ - ۹ = ۲$
* اختلاف سطح دوم ثابت است و برابر **۲** است.
فعالیت ریاضی دهم
۳) امیررضا برای یافتن جمله‌ی عمومی این الگو، مجموعه‌ی نقاط هر شکل را به صورت زیر دسته‌بندی کرد. از شکل‌های امیررضا کمک بگیرید و مقدار $\text{t}_{\text{n}}$ را بیابید.
$$\text{t}_{\text{۱}} = (۱)^{۲}+۴(۱) \quad \text{t}_{\text{۲}} = (۲)^{۲}+۴(۲) \quad \text{t}_{\text{۳}} = (۳)^{۲}+۴(۳) \quad \text{t}_{\text{۴}} = (۴)^{۲}+۴(۴) \quad \dots \quad \mathbf{\text{t}_{\text{n}} = }$$
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۳ صفحه ۱۷ ریاضی دهم
روش امیررضا بر اساس **تجزیه هندسی** الگو است. او نقاط را به یک مربع مرکزی و چهار شاخه جانبی تقسیم کرده است.
### ۱. تحلیل روش امیررضا
امیررضا الگو را به دو بخش تقسیم کرده است:
1. **قسمت اول (ناحیه‌ی مرکزی):** تعداد نقطه‌ها در مربع مرکزی که همیشه برابر با **شماره‌ی شکل به توان ۲** ($\mathbf{\text{n}^{۲}}$) است.
2. **قسمت دوم (شاخه‌های جانبی):** چهار شاخه‌ی تک‌بعدی که تعداد نقاط هر شاخه برابر با **شماره‌ی شکل** ($\mathbf{\text{n}}$) است. مجموعاً $\mathbf{۴\text{n}}$.
* $\text{t}_{\text{۱}} = (۱)^{۲} + ۴(۱) = ۱ + ۴ = ۵$
* $\text{t}_{\text{۲}} = (۲)^{۲} + ۴(۲) = ۴ + ۸ = ۱۲$
* $\text{t}_{\text{۳}} = (۳)^{۲} + ۴(۳) = ۹ + ۱۲ = ۲۱$
### ۲. جمله‌ی عمومی $\text{t}_{\text{n}}$
با توجه به این الگو، جمله‌ی $\text{n}$-ام برابر است با مجموع این دو قسمت:
$$\mathbf{\text{t}_{\text{n}} = \text{n}^{۲} + ۴\text{n}}$$
فعالیت ریاضی دهم
۴) امیرمحمد نگاه دیگری به مسئله داشته است. او برای هر شکل این الگو، شکل دیگری را به صورت زیر در نظر کرد. با استفاده از این شکل‌ها مقدار $\text{t}_{\text{n}}$ را بنویسید.
$$\text{t}_{\text{۱}} = (۳)^{۲} - ۴ = (۱+۲)^{۲} - ۴ \quad \text{t}_{\text{۲}} = (۴)^{۲} - ۴ = (۲+۲)^{۲} - ۴ \quad \text{t}_{\text{۳}} = (۵)^{۲} - ۴ = (۳+۲)^{۲} - ۴ \quad \dots \quad \mathbf{\text{t}_{\text{n}} = }$$
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۴ صفحه ۱۷ ریاضی دهم
روش امیرمحمد بر اساس **تکمیل الگو به یک مربع بزرگتر** و سپس **حذف گوشه‌ها** است. این روش اغلب برای الگوهای درجه دوم مفید است.
### ۱. تحلیل روش امیرمحمد
امیرمحمد هر شکل را به عنوان یک مربع کامل در نظر گرفته که ۴ نقطه (در گوشه‌ها) از آن حذف شده است:
1. **ناحیه‌ی بزرگتر (مربع کامل):** او شکل $\text{n}$ را به عنوان یک مربع با ابعاد $(\mathbf{\text{n}+۲}) \times (\mathbf{\text{n}+۲})$ در نظر می‌گیرد. تعداد کل نقطه‌ها در این مربع بزرگتر $(\text{n}+۲)^{۲}$ است.
2. **حذف گوشه‌ها:** برای بازگشت به شکل اصلی، او **۴** نقطه را از گوشه‌ها حذف می‌کند.
* $\text{t}_{\text{۱}}$ (شکل ۱): ابعاد $(۱+۲) \times (۱+۲) = ۳ \times ۳$ (۹ نقطه). $\text{t}_{\text{۱}} = ۹ - ۴ = ۵$
* $\text{t}_{\text{۲}}$ (شکل ۲): ابعاد $(۲+۲) \times (۲+۲) = ۴ \times ۴$ (۱۶ نقطه). $\text{t}_{\text{۲}} = ۱۶ - ۴ = ۱۲$
* $\text{t}_{\text{۳}}$ (شکل ۳): ابعاد $(۳+۲) \times (۳+۲) = ۵ \times ۵$ (۲۵ نقطه). $\text{t}_{\text{۳}} = ۲۵ - ۴ = ۲۱$
### ۲. جمله‌ی عمومی $\text{t}_{\text{n}}$
با توجه به این الگو، جمله‌ی $\text{n}$-ام برابر است با:
$$\mathbf{\text{t}_{\text{n}} = (\text{n}+۲)^{۲} - ۴}$$
فعالیت ریاضی دهم
۵) نشان دهید که دو مقدار به دست آمده برای $\text{t}_{\text{n}}$ در دو قسمت قبلی، برابرند.
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۵ صفحه ۱۷ ریاضی دهم
هدف این قسمت این است که ثابت کنیم هر دو روش امیررضا و امیرمحمد، که از دیدگاه‌های مختلفی به الگو نگاه کردند، در نهایت به یک عبارت ساده شده برای جمله‌ی عمومی می‌رسند.
### ۱. فرمول امیررضا
$$\mathbf{\text{t}_{\text{n}} = \text{n}^{۲} + ۴\text{n}}$$
### ۲. فرمول امیرمحمد
$$\mathbf{\text{t}_{\text{n}} = (\text{n}+۲)^{۲} - ۴}$$
### ۳. ساده‌سازی فرمول امیرمحمد
برای اثبات برابری، فرمول امیرمحمد را ساده می‌کنیم. از اتحاد مربع دوجمله‌ای استفاده می‌کنیم:
* **اتحاد مربع دوجمله‌ای:** $(a+b)^{۲} = a^{۲} + ۲ab + b^{۲}$
$$(\text{n}+۲)^{۲} = \text{n}^{۲} + ۲(\text{n})(۲) + (۲)^{۲}$$
$$(\text{n}+۲)^{۲} = \text{n}^{۲} + ۴\text{n} + ۴$$
حالا این عبارت را در فرمول امیرمحمد جایگزین می‌کنیم:
$$\text{t}_{\text{n}} = (\text{n}^{۲} + ۴\text{n} + ۴) - ۴$$
$$\mathbf{\text{t}_{\text{n}} = \text{n}^{۲} + ۴\text{n}}$$
**نتیجه:** هر دو فرمول پس از ساده‌سازی با هم برابرند. این نشان می‌دهد که در ریاضیات، الگوهای مختلفی می‌توانند به یک فرمول نهایی برسند.
فعالیت ریاضی دهم
۶) آیا شما روش دیگری برای یافتن $\text{t}_{\text{n}}$ می‌شناسید؟ پاسخ خود را با جواب دوستانتان مقایسه کنید.
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۶ صفحه ۱۷ ریاضی دهم
بله، روش‌های دیگری هم برای پیدا کردن جمله‌ی عمومی الگوهای درجه دوم وجود داره. یکی از روش‌های رایج، استفاده از روش **اختلاف سطح دوم ثابت** برای پیدا کردن ضرایب است.
### روش سوم: استفاده از ضرایب کلی دنباله‌ی درجه دوم
هر الگوی درجه دوم (الگویی که اختلاف سطح دومش ثابت است) را می‌توان با فرمول کلی زیر نمایش داد:
$$\mathbf{\text{t}_{\text{n}} = \text{a}\text{n}^{۲} + \text{b}\text{n} + \text{c}}$$
ما از اطلاعات زیر استفاده می‌کنیم:
* **جملات الگو:** $\text{t}_{\text{۱}}=۵$, $\text{t}_{\text{۲}}=۱۲$, $\text{t}_{\text{۳}}=۲۱$
* **اختلاف سطح دوم:** $۲$
**قوانین پیدا کردن ضرایب در دنباله‌ی درجه دوم:**
1. **پیدا کردن ضریب $\mathbf{a}$:** ضریب $a$ برابر است با **نصف اختلاف سطح دوم**.
$$\text{a} = \frac{\text{اختلاف سطح دوم}}{۲} = \frac{۲}{۲} = ۱$$
2. **پیدا کردن ضریب $\mathbf{c}$:** اگر $\text{t}_{\text{۰}}$ (جمله‌ی قبل از شروع) را در فرمول قرار دهیم، $\text{c}$ به دست می‌آید. اما ساده‌ترین راه، محاسبه‌ی $\text{b} + \text{c}$ از طریق جمله‌ی اول است:
$$\text{a} + \text{b} + \text{c} = \text{t}_{\text{۱}}$$
$$۱ + \text{b} + \text{c} = ۵ \implies \mathbf{\text{b} + \text{c} = ۴}$$
3. **پیدا کردن ضریب $\mathbf{b}$:**
$$\text{t}_{\text{۲}} = \text{a}(۲)^{۲} + \text{b}(۲) + \text{c}$$
$$۱۲ = ۱(۴) + ۲\text{b} + \text{c}$$
$$۱۲ = ۴ + ۲\text{b} + \text{c} \implies ۸ = ۲\text{b} + \text{c}$$
حالا یک دستگاه دو معادله‌ای برای $\text{b}$ و $\text{c}$ داریم:
$$\begin{cases} \text{b} + \text{c} = ۴ \\ ۲\text{b} + \text{c} = ۸ \end{cases}$$
* با کم کردن معادله اول از دوم: $(۲\text{b} + \text{c}) - (\text{b} + \text{c}) = ۸ - ۴ \implies \mathbf{\text{b} = ۴}$
* با جایگذاری $\text{b}=۴$ در معادله اول: $۴ + \text{c} = ۴ \implies \mathbf{\text{c} = ۰}$
### ۴. فرمول نهایی $\text{t}_{\text{n}}$
با جایگذاری $a=۱$، $b=۴$، و $c=۰$:
$$\text{t}_{\text{n}} = (۱)\text{n}^{۲} + (۴)\text{n} + ۰$$
$$\mathbf{\text{t}_{\text{n}} = \text{n}^{۲} + ۴\text{n}}$$
این روش کاملاً جبری است و بر پایه‌ی روابط ثابت در دنباله‌های درجه دوم استوار است.
